1991-1995 yılları arasında İngiltere'deki Mobil Europe Limited ve Mobil Oil Company Limited Şirketi'nde görev almıştır. Münci Bilgiç, daha sonra 1996-1998 yılları arasında ise Mobil Türkiye Madeni Yağ Fabrikası Planlama Müdürlüğü görevini üstlenmiştir. 1998-2001 yılları arasında da Mobil Türkiye Mali İşler Müdürü olmuştur. Aynı zamanda Yönetim Kurulu Üyesi görevlerini yürümüştür. Bilgiç, 2001'de ise Exxon-Mobil Global Birleşmesi Türkiye Lider Takımı Üyesi oldu.
Şirkette 2001-2008 yılları arasında Türkiye Mali İşler Direktörlüğü görevini üstlenmiştir. Münci Bilgiç, daha sonra 2009-2011 yılları arasında ise Türkiye, Balkanlar ve Orta Asya Otomotiv Grubu Yağları Satış Müdürlüğü görevinde bulunmuştur. Ayrıca, 2011-2014 yılları arasında da Avrupa ve Rusya Bölgeleri'nden Sorumlu Perakende Müşteriler Satış Müdürlüğü görevine getirilmiştir. Münci Bilgiç, 2014-2018 yılları arasında da Avrupa, Rusya, Afrika ve Ortadoğu Bölgeleri Otomotiv Grubu Stratejik Müşteri Yöneticiliği görevini yürüttü. Bilgiç, bu görevi kapsamında toplamda 84 ülkeden sorumluydu.
Türkiye'deki tüm operasyonlardan sorumlu genel müdürlük görevine Bilgiç atanmıştır. Bilgiç, yeni görevi kapsamında madeni yağ satışlarının sorumluğunu da üstlendi.