Asal Sayılar Asal Sayılar Nedir Asal Sayılar Tanımı

Asal Sayı Nedir: Yalnız bir ve kendisi ile bölünebilen birden büyük doğal sayılar asal sayıdır. Asal sayılar, sadece kendisi ve 1 sayısına bölünebilen 1'den büyük pozitif tam sayılar biçiminde de tanımlanabilir.

En küçük asal sayı kaçtır : en küçük asal sayı 2'dir.

2'den başka çift asal sayı var mıdır"

Hayır. 2'den başka çift Asal Sayı yoktur. Çift sayıların hepsi ikiye bölündüğünden Asal Sayı tanımına uymazlar.

2 neden Asal Sayıdır

Sadece kendisine ve 1 sayısına bölünebilen pozitif tam sayılara asal sayılar denir. 2 rakamı sadece bire ve kendisine (2 ye) bölündüğünden ve başka böleni olmadığından tanıma uymaktadır, bu yüzden de 2 asal sayıdır.

1 neden asal sayı değildir

Asal sayıların iki pozitif tamsayı böleni olmalıdır. 1 sayısı sadece 1'e bölünebildiği için tek böleni vardır, bu nedenle asal sayı değildir.

1'den 50'ye kadar asal sayılar (15 tanedir)

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47

1 den 100 kadar asal sayılar (25 tanedir)

2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

1 den 1000 e kadar asal sayılar (168 tanedir)

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997

ASAL SAYILAR ÇİZELGESİNİN BULUNUŞU (ERATOSTEN KALBURU)
Çizelge n sayısına kadar olan asal sayıları bulmak için kullanılır. n sayısı aşırı büyük olmamalıdır. Yöntem son derece basittir. Şimdi n i 110 alarak çizelgeyi çizmeye çalışalım

a)Önce 0 dan 110 kadar bütün doğal sayılar yazılır.0 ile 1 asal değildir çizilir.
b)İlk asal sayı 2dir Kendinden büyük katları çizilir Çünkü bunlar iki ve bire bölündüğünden asal değildir. Dikkat edilirse çizilen ilk sayı
22 =4tür

c)Sonra sıra çizilmeyen ilk sayı olan 3 e gelir .3 asaldır. Onunda kendinden büyük katları çizilir. İlk çizilen 32 =9 dur.
d)Bu şekilde devam edilir.72 =49damn sonra devam edilmez çünkü 112 =121 tabloda yoktur. Böylece 1 den 110 a kadar olan asal sayılar çizilmeyenler olarak karşımıza çıkar.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Bu çizelge metodun ismi olan Eratosten Kalburu ismini alır

ERATOSTEN KALBURUNUN ÖZELLİKLERİ
TEOREM1Eratosten Kalburu metodunda asal sayıların kendilerinden büyük katları çizildiğinde, çizilmemiş en küçük ilk¬ ¬¬¬X sayısı asaldır. Bunu olmayana ergi metodundan ispatlayabiliriz.

İSPAT
Biran için X in asal olmadığını varsayalım .O zaman X in kendisi ve birden başka kendinden küçük bir B böleni, olmalıdır. X çizilmeyen en küçük sayıydı (Hipotez) O halde B böleni çizilen sayılar arasındadır .Bu ise Bnin daha önce belirtilmiş asal sayılardan birinin kendisinden farklı katı olduğunu gösterir .O halde bu asal sayılardan biri B yi böler B de X i böldüğünden (Bölünebilme bağıntısı geçişlidir)Bu asal sayı X i böler .Buradan X in bu asal sayının kendisinden farklı katı olduğu çıkar ki o zaman X in çizilmesi gerekir .Ama asal sayı olduğu için çizilmemiştir. Çelişki vardır. Onun için X asal sayı olmak zorundadır.

TEOREM2
Eroatosten Kalburunda bir X asal sayısının kendisinden farklı katlarının çizilmesi sırasında ilk silinen sayı X.X=X2 dir.
İSPAT:X asal sayısının kendisinden büyük X2 den küçük katlarını yazalım
1)X.2,X.3,X.4,X.5 ......X.k.........,X(X-1 )
1)dekiler ayrıca sıra ile 2nin,3ün,4ün,5in...k nın katlarını da verir
Xten küçük birden büyük sayılar
2)2,3,4,5...,k....,(X-1)
2)deki sayılar X ten küçüktür .O halde bu sayılar ya çizilmemiş asal sayıdır yada Xten önceki çizilmiş sayılardır.2)deki sayıların belirtecini k alırsak
i)k=asalsa X.k tipinde olan(1)deki sayılar k nın katları arasında çizilmişlerdir
ii)K=asal değilse bu sayı xten küçük bir Z asal sayısının katı olacağından k=Z.Y
dirX.k=X1)deki Xin katları Znin katları arasında çizilmişlerdir.
Ohalde xin x2 küçük x ten büyük katları çizilmiştir gen O halde X asalının kendisinden farklı çizilecek ilk sayısı karesidir

ASAL SAYILARDA BAZI ÖZELLİKLER
Bir Bileşik Sayının En Küçük Asal Böleni

Teorem
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asaldır.

İSPAT
X sayısının bölenleri kümesi B(x) olsun. Bu kümenin en küçük elemanı 1 en büyük elemanı a olan sonlu bir kümedir ve bu sıralamada Y sayısı birden sonra gelen ilk sayıdır. Bu sayının asallığını ispat için bir an bu sayının asal olmadığını varsayalım o zaman bu Y sayısının kendinde ve 1 den farklı bir böleni daha olacaktır. Yani Başka bir deyişle B(a) kümesinde Y den küçük bir d sayısı olacaktır .Halbuki en küçük bölen Y idi ondan küçük sayı olamaz. Çelişki vardır Onun için Y sayısı bileşik sayı olmalıdır.

Tanım
Bir bileşik sayının birden farklı en küçük böleni asal sayıya bu bileşik sayının en küçük asal böleni denir.

Sonuçlar
1.a)Bir bileşik sayının en küçük asal böleni,en fazla bölümü kadardır.

İspat
Bir A bileşik sayısı alalım bu sayının en küçük asal böleni Y olsun. Bölme işleminin sağlamasından A=Y.k olur. Buradan Anın Y ye bölünmesinden elde edilen k bölümü Anın bir bölenidir. Y,Anın birden farklı en küçük böleni olduğundan YBİR BİLEŞİK SAYININ ÇARPANLARINA AYRILMASI BÖLENLERİNİN SAYISI VE TOPLAMI
Tanım Bir bileşik sayı ,asal sayıların yada sıfırdan farklı doğal kuvvetlerin çarpımı şeklinde yazılmış ise bu bileşik sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir.
Teorem(Aritmetiğin temel teoremi Her bileşik sayı,asal çarpanlarına ayrılabilir ve bu ayrılış ancak ve ancak bir türdedir.

İspat Ayrışımın varlığı
Herhangi bir a bileşik sayısı alalım. Her bileşik sayının bir en küçük asal böleni vardır teoreminden anın p1 gibi bir asal böleni olmak zorundadır. Bölme tanımına göre a=p1 . a1 dır. ve p1 >1 olduğundan a1 a yada a >a den biri doğrudur.
a>a durumunda,m=m +r (r Î N) olduğu yazılır ve gerekli

sadeleştirme yapılırsa;
xb.yc . ze =yc .ze elde edilir x asal çarpanı ikinci tarafta bulunmadığında ve x¹y,z¹x olduğuna göre x çarpanı birinci yanda da olmamalı başka deyimle xr =1 olmalıdır. Buradan r=0 bulunur ki m=mı+r de yazılırsa mı=m bulunur. m≤mı de de aynı yolla ispatlanır

Aynı yöntemle y ve z nin üslerinin de eşliğini ispatlayabiliriz buradan Ayrımın tek olduğu bulunur.

Teorem
Asal çarpanlarına ayrılmış a ve b sayıları verildiğinde anın b ile bölünebilmesi için gerek ve yeter şart b nin her asal böleninin a nın ayrışımında en az b deki üssüne eşit bir üsle bulunmasıdır.

EN BÜYÜK ORTAK BÖLEN
Tanımlar ve İlk Bilgiler
Tanım1 sıfırdan farklı bir c doğal sayısı hem a ve hem de b doğal sayılarının böleni ise c ye a ile bnin ortak böleni denir ve O.B(a,b)=c ile gösterilir Açıktır ki 1 sayısı herhangi iki doğal sayının daima ortak bölenidir. Sıfırdan farklı her doğal sayı sıfır sayısının böleni olduğundan (a Î N-{0}) ile sıfırın ortak bölenleri a nın bölenlerinden başka bir şey değildir. Bu yüzden genellikle ortak bölenleri söz konusu olan a,b sayıları sıfırdan farklı doğal sayılar olarak seçilirler

Bir doğal sayının bölenlerinin nasıl bulunacağı bilinmektedir''Sıfırdan farklı iki doğal sayıdan biri diğerini bölerse, bölen en çok bölünene eşittir.''teoremine göre a,b Î N-{0} bölenleri kümeleri, ayrı ayrı sonlu kümelerdir. A Î N nin bölenleri kümesi B(a)b ÎN nin bölenleri kümesi B(b) ile gösterilirse B(a) Ç B(b)nin a ile b nin ortak bölenleri kümesi olduğu açıktır .a , b N sayılarının ortak bölenleri kümesi B(a,b) ile gösterilirse B(a,b)=B(a)UB(b) dir

Sonuçlar
1-a ve b sıfırdan farklı doğal sayılarının B(a) ve B(b) kümeleri sonlu olduklarından kesişimleride sonludur. O halde aÎN nin ortak bölenleri kümesi olan B(a,b) sonludur. Başka bir deyimle sıfırdan farklı doğal sayıların ortak bölenleri sonlu sayıdadır.

Ayrıca B(a,b) kümesi sonlu olup { } den farklı olduğundan elemanları doğal sayılar olan { } den farklı sonlu her kümenin bir en küçük ve bir en büyük elemanı teoremine göre B(a,b) ortak bölenler kümesinin bir en küçük elemanı(1 sayısı) ve bir en büyük elemanı vardır
2-B(a)ÇB(b) = B(b)ÇB(a) olduğuna göre B(a,b)=B(b,a) Başka bir deyimle a ile b nin ortak bölenleri ile b ile a nın ortak bölenleri aynıdır.

EN KÜÇÜK ORTAK KAT
Tanımlar ve ilk bilgiler
Tanım 1 a Î N nın n Î N ile çarpımı olan k=n.a doğal sayısına "anın n katı denir" denir.
N, a Î N dan k=n.a Î N dır.a nın katlarının oluşturduğu küme K(a) ile gösterilecektir. K(a)={a,2a,3a,4a,.....na....}kümesi sonsuz bir kümedir ve
K(a) Î N dır."{ } den farklı N doğal sayılar kümesinin her alt kümesinin en küçük bir elemanı vardır"teoremine göre anın katları kümesinin de bir en küçük elemanı vardır:a sayısı. Kısaca"a nın katları arasında en küçüğü a dır Diyebiliriz. a Î N nın her katının a ile bölünebildiği açıktır.

Tanım2 :Sıfırdan farklı a ve b doğal sayılarının herbirinin katı olan c Î N sayısına aile b nin bir ortak katı denilir.
Başka bir deyimle a ve b sıfırdan farklı c doğal sayısına a ile bnin ortak katı denir.v e c=O.K.E.K(a,b) ile gösterilir.
Örneğin 15|24 20|240 ve 240=0Þ240=O.K.E.K(15,20)dir. Verdiğimiz tanıma göre 15|0 20|0Þ=O.K.E.K(15,20) yazamayız çünkü tanımda kat olacak sayının sıfırdan farklı olma şartı vardır.

Açıktır ki, anın katları kümesi ile b nin katları kümesinin arakesit kümesi,a ile b nin ortak katlarından oluştuğu için a ile bnin ortak katlarının kümesini verir. Bu küme K(a,b) ile gösterilecektir.
20nin katları kümesi,K(20)={20,40,60,80,100......}ve 15 in katları kümesi K(15)={15,30,45,60....}olup bunların kesişime={60,120,180......}dir

Sonuçlar
1. a ile bnin ortak katları ile b ile a nın ortak katları kümeleri eşittir.
2. a,b N için a.b her katı ,a ile b nin ortak katları.
3. a,b N verildiğinde ,a ile b nin ortak katları arasında bir en küçüğü vardır.

ÇARPANLARA AYIRMA
1-)ORTAK ÇARPAN PARANTEZİNE ALMA
A(X).B(X)+A(X).C(X)=A(X).[B(X)+C(X)
Ortak çarpan parantezine almaktaki amaç terim sayısını bire düşürmektir.Böylece ifadelerde sadeleştirme kolaylıkla yapılabilir.

Örnekler
1-)ax+bx-cx ifadesini çarpanlara ayıralım!
ax+bx-cx üç terimlisinde ortak çarpan x'tir.buna göre;
ax+bx-cx=x.(a+b-c) olur.

2-)a b c+a b c+a bc ifadesini çarpanlarına ayıralım!
İfade üç terimlidir ve abc ortak çarpandır.O halde;

a b c+ab c+a bc=abc(ab+bc+a c)dir.

2-)GRUPLANDIRARAK ÇARPANLARA AYIRMA
Verilen ifadenin terimleri uygun şekillerde guplara ayrılır ve her grupta ortak bi çarpan bulunmaya çalışılır.

Örnekler
1-)ax+bx+ay+by=(ax+bx)+(ay+by)
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b).(x+y)
2-)x-ax+2x-2a=(x-ax)+(2x-2a)
=x(x-a)+2(x-a)
=(x-1).(a-1)
3-)ax-a-x+1=(ax-a)+(-x+1)
=a(x-1)-1(x-1)
=(x-1).(a-1)